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分部积分公式在线计算

分部积分公式在线验证器，输入 u(x) 与 dv(x)，用数值方法验证 ∫u dv=uv−∫v du 两端是否相等，附分部过程，适合分部积分法练习。

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∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du
支持 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘号不可省略，写 2*x
支持 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘号不可省略，写 2*x
积分下限
积分上限

📖 使用教程｜分部积分公式

一、定义
分部积分公式：∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。它把“乘积积分”拆成边界项与一个更易积分的项。
二、符号说明
符号含义
u(x)被求导的因子
dv/dxv 的导数，即 dv=v′dx
v(x)由 dv 积出的原函数
[uv]ₐᵇ边界项 uv(b)−uv(a)
∫v du化归后的积分
三、本工具的原理
  • 输入 u(x) 与 v′(x)=dv/dx；
  • 数值上把 v(x) 取为从 a 起的原函数 V(x)=∫ₐˣ v′(t)dt；
  • 分别计算左边 ∫u·v′ 与右边 [uv]−∫v·u′，验证二者相等。
四、操作步骤
  1. 在 u(x) 输入求导因子，例如 x；
  2. 在 dv/dx 输入 v 的导数，例如 exp(x)；
  3. 输入 a、b，点击“计算”，比较两边数值。
五、例题
例：∫₀¹ x eˣ dx。u=x，v′=eˣ。左边=1；右边=[x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e−(e−1)=1。两边相等。
六、易错点
dv/dx 输入的是 v 的导数，不是 v 本身；
u′ 用中心差分数值计算，远离 0 与奇点更稳；
若两边差较大，检查是否有奇点或区间过大。

❓ 常见问题｜分部积分公式

为什么要验证公式两边？
分部积分是恒等式，数值验证能加深对“边界项减去新积分”结构的理解。
dv/dx 应该输入什么？
输入 v 的导数 v′，例如想取 v=eˣ 就输入 exp(x)。
v(x) 是怎么得到的？
数值上取 V(x)=∫ₐˣ v′(t)dt，即以 a 为基准的原函数。
两边为何不完全相等？
u′ 用差分、积分用自适应辛普森，误差约 1e-9 量级，属正常。
支持哪些函数？
+−*/^、sin cos exp log sqrt abs 等。