一、定义
第一类曲线积分（对弧长）∫_C f ds = ∫ f(x(t),y(t))√(x'²+y'²) dt，与曲线方向无关，物理上表示曲线构件的质量。
二、符号说明
| f(x,y) | 线密度 |
| x(t),y(t) | 参数方程 |
| ds | 弧长微元 |
| √(x'²+y'²) | 速度模 |
三、本工具的原理
- 逐点求曲线坐标与速度；
- 乘 √(x'²+y'²) 得弧长微元；
- 辛普森法对 t 积分。
四、操作步骤
- 输入 f、参数方程与 t 范围；
- 点击「计算」。
五、例题
例：f=x+y 沿 x=t,y=t²（t:0→1）。
解：∫₀¹ (t+t²)√(1+4t²) dt。工具数值积分得结果（约 1.455）。
六、易错点
第一类积分与路径方向无关；
ds≥0，积分下限应小于上限；
弧长微元含速度模。