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極限概念計算器

極限定義線上演示器，輸入 f(x) 與趨近點 a，用 f(a±h) 隨 h 縮小的數值逼近，直觀演示 ε-δ 語言下的極限過程，適合極限概念入門。

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lim(x→a) f(x) = L
支援 + - * / ^ ( ) 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
x 趨近於此點（可為 0）

📖 使用教學｜極限概念

一、定義
設 f(x) 在 a 附近有定義。若當 x 無限趨近於 a（x≠a）時，f(x) 無限趨近於常數 L，則稱 lim(x→a) f(x) = L。
二、符號說明
符號意義
f(x)被研究的函數
ax 趨近的點
L極限值（左、右極限相等時存在）
h步長，逐次縮小以逼近 a
三、本工具的原理
  • 取 h = 0.1、0.01、0.001，分別計算 f(a−h) 與 f(a+h)；
  • 左右兩側數值若同時穩定趨近同一常數 L，則極限存在；
  • 若兩側趨近不同常數（或發散），則極限不存在；
  • 數值逼近是直觀演示，嚴格證明仍需 ε-δ 語言。
四、操作步驟
  1. 在「函數 f(x)」框輸入運算式，例如 (x^2-1)/(x-1)；
  2. 在「趨近點 a」框輸入 1；
  3. 點擊「計算」，觀察 f(1−h)、f(1+h) 隨 h 縮小的變化；
  4. 點擊「填入範例」可一鍵載入範例。
五、範例
例：求 lim(x→1) (x²−1)/(x−1)。
解：化簡 (x²−1)/(x−1)=x+1（x≠1），故 x→1 時極限為 2。工具中 h=0.001 時 f(0.999)≈1.999、f(1.001)≈2.001，皆趨近 2。
六、易錯點
x→a 表示 x 不等於 a；函數在 a 處可以無定義，極限仍可能存在；
左右極限必須相等，極限才存在；
數值逼近有捨入誤差，步長過小可能出現浮點雜訊。

❓ 常見問題｜極限概念

極限存在的條件是什麼？
左極限與右極限都存在且相等。只有一側趨近或兩側不同，極限都不存在。
函數在 a 處無定義，極限還存在嗎？
可以。極限只關心 x 無限接近 a 時的趨勢，與 f(a) 本身是否有定義無關。例如 (x²−1)/(x−1) 在 x=1 處無定義，但極限為 2。
本工具為什麼用數值逼近而非嚴格求解？
本工具用於直觀理解極限概念，藉由逐步縮小 h 觀察 f(a±h) 的趨勢；嚴格證明需要 ε-δ 定義或代數化簡。
支援哪些函數寫法？
支援 + − * / 次方 ^ 括號，以及 sin、cos、tan、sqrt、exp、log、常數 pi 與 e。乘號不可省略，例如 2x 要寫 2*x。
結果為什麼和手算有微小誤差？
數值計算受浮點精度影響，h 很小時可能出現最後幾位的雜訊，屬正常現象，不影響對極限值的判斷。
左極限、右極限不相等怎麼辦？
代表在該點是跳躍中斷點，lim(x→a) f(x) 不存在。例如分段函數在分段點兩側取不同常數時。