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無窮遠極限計算機

無窮遠極限線上演示器，輸入 f(x) 與趨向方向，依序計算 f 在 10、100、1000… 的值，觀察 x→±∞ 時的水平漸近線，直觀理解無窮遠極限。

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lim(x→+∞) f(x) = A ⇔ 水平渐近线 y = A
支援 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
x 正無窮或負無窮

📖 使用教學｜無窮遠極限

一、定義
當 x 無限增大（或絕對值無限增大）時 f(x) 無限趨近常數 A，則稱 lim(x→±∞) f(x)=A，y=A 為水平漸近線。
二、符號說明
符號意義
f(x)被研究的函數
+∞ / −∞x 的兩種無窮方向
A水平漸近線縱座標
三、本工具的原理
  • 本工具在 x=±10,±100,±1000,±10000 上取值；
  • 觀察數值是否穩定趨近某常數 A；
  • 若穩定則 A 為水平漸近線，否則發散。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)；
  2. 選擇 x→+∞ 或 −∞；
  3. 點擊計算，讀取最後一行數值作為漸近線。
五、範例
例：f(x)=(3x+1)/x=3+1/x，x→+∞ 時 1/x→0，故極限為 3，水平漸近線 y=3。
六、易錯點
多項式 x→∞ 時依最高次項主導；
有理函數看分子分母最高次項係數比；
振盪函數（如 sinx）在無窮處無極限。

❓ 常見問題｜無窮遠極限

什麼是水平漸近線？
若 lim(x→∞)f(x)=A，則直線 y=A 是曲線的水平漸近線，曲線在遠處無限靠近它。
有理函數在無窮處極限怎麼看？
比較分子、分母最高次項次數：分子次數低則→0，相等則→係數比，高則→∞。
f(x)=sinx 在無窮處有極限嗎？
沒有。它在 −1 與 1 之間振盪，不收斂到任何常數。
x→+∞ 和 x→−∞ 結果一定相同嗎？
不一定。如 e^x 在 +∞ 發散、在 −∞ 趨於 0；需分別判斷。
為什麼數值很大時像發散？
若函數確實增長（如 x²），f(x) 會快速變大，說明無水平漸近線。