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常微分方程基本概念

選擇方程階數與右端項類型，自動判斷階數、線性、齊次性及通解常數個數。

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F(x, y, y′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0
1–4 的整數
0 表示齊次；填 1 表示非齊次

📖 使用教學｜常微分方程基本概念

一、定義
含有未知函數 y(x) 及其導數 y′, y″, … 的方程稱為常微分方程。方程中出現的最高階導數的階數稱為方程的階數。
二、符號說明
符號意義
y⁽ⁿ⁾y 的 n 階導數
n方程階數
f(x)右端項（非齊次項）
C₁…Cₙ通解中的 n 個任意常數
三、本工具的原理
  • 階數 = 最高階導數的階數；
  • 若方程關於 y 及其各階導數都是一次的，稱為線性方程；
  • 右端項為 0 時稱齊次，否則非齊次；
  • n 階方程的通解含有 n 個獨立任意常數。
四、操作步驟
  1. 在「最高階數 n」框輸入 1–4 的整數；
  2. 在「右端項」框填 0（齊次）或 1（非齊次）；
  3. 點擊「計算」查看分類與常數個數。
五、範例
範例：y″ + 3y′ + 2y = 0。最高階為二階，關於 y 及 y′、y″ 都是一次，右端為 0，故為二階齊次線性方程，通解含 2 個任意常數。
六、易錯點
階數只看最高階導數，與導數個數無關；
線性要求未知函數及其導數都是一次的，y²、sin y 出現即非線性；
齊次是對右端項而言，不要和代數裡的齊次混淆。

❓ 常見問題｜常微分方程基本概念

什麼是微分方程的階數？
方程中出現的未知函數最高階導數的階數。例如 y″+y=0 中最高是二階，所以是二階方程。
線性和非線性如何區分？
只要方程關於 y 及其各階導數都是一次的（沒有 y²、y·y′、sin y 等），就是線性的。
齊次和非齊次如何區分？
把所有含 y 及導數的項放左邊，剩下的右端項為 0 就是齊次，否則非齊次。
通解為什麼有 n 個任意常數？
n 階方程需要積分 n 次，每次積分出現一個任意常數，相互獨立。
本工具能直接解方程嗎？
本工具是概念分類器，用於判斷階數與類型；具體求解請使用對應的求解工具。