一、定义
函数 f(x) 在 [a,b] 上的平均值为 f̄=(1/(b−a))∫ₐᵇ f(x)dx。积分中值定理保证存在 c∈[a,b] 使 f(c)=f̄。
二、符号说明
| 符号 | 含义 |
|---|
| f̄ | 平均高度 |
| ∫f dx | 曲线下面积 |
| (b−a) | 区间长度 |
| c | 使 f(c)=f̄ 的点 |
三、本工具的原理
- 先数值积分 ∫ₐᵇ f dx；
- 除以区间长度 (b−a) 得平均；
- 相当于把面积“摊平”成等高矩形。
四、操作步骤
- 输入 f(x)；
- 输入区间 [a,b]；
- 点击“计算”得到平均值 f̄。
五、例题
例：f(x)=x² 在 [0,1]：∫₀¹ x² dx=1/3，长度 1，故 f̄=1/3≈0.333333。
六、易错点
平均值是积分除以长度，不是端点值的算术平均；
f̄ 是一个高度，对应等面积矩形；
积分中值 c 一般不在区间中点。