一、定義
函數 f(x) 在 [a,b] 上的平均值為 f̄=(1/(b−a))∫ₐᵇ f(x)dx。積分中值定理保證存在 c∈[a,b] 使 f(c)=f̄。
二、符號說明
| 符號 | 含義 |
|---|
| f̄ | 平均高度 |
| ∫f dx | 曲線下面積 |
| (b−a) | 區間長度 |
| c | 使 f(c)=f̄ 的點 |
三、本工具的原理
- 先數值積分 ∫ₐᵇ f dx；
- 除以區間長度 (b−a) 得平均；
- 相當於把面積「攤平」成等高矩形。
四、操作步驟
- 輸入 f(x)；
- 輸入區間 [a,b]；
- 點擊「計算」得到平均值 f̄。
五、範例
例：f(x)=x² 在 [0,1]：∫₀¹ x² dx=1/3，長度 1，故 f̄=1/3≈0.333333。
六、易錯點
平均值是積分除以長度，不是端點值的算術平均；
f̄ 是一個高度，對應等面積矩形；
積分中值 c 一般不在區間中點。