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基本积分公式在线计算
基本积分公式速查与验证器，内置幂函数、1/x、e^x、三角与反三角等常用积分公式，点选即可代入参数并数值验证结果，帮助记忆积分表与检验作业。
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∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
预设示例
—
幂函数 ∫x²
幂函数 ∫x³
倒数 ∫1/x
指数 ∫eˣ
正弦 ∫sin x
余弦 ∫cos x
正割平方 ∫sec²x
反正切 ∫1/(1+x²)
选择一个示例以自动填入 f(x) 与区间。
函数 f(x)
支持 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘号不可省略，写 2*x
下限 a
积分下限
上限 b
积分上限
计算结果
结果 ≈
计算
填入示例
复制结果
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📖 使用教程｜基本积分公式
一、定义
基本积分公式是由基本求导公式反推得到的积分公式，是计算一切积分的基石。掌握它们之后，复杂积分靠换元、分部等方法化归到这些基本型。
二、常用公式表
符号
含义
∫xⁿ dx
x^(n+1)/(n+1)+C（n≠−1）
∫1/x dx
ln|x|+C
∫eˣ dx
eˣ+C
∫sin x dx
−cos x+C
∫cos x dx
sin x+C
∫sec²x dx
tan x+C
∫1/(1+x²)dx
atan x+C
三、本工具的原理
下拉选择一个基本型，自动填入 f(x) 与区间；
用自适应辛普森法数值计算 ∫_a^b f(x)dx；
把数值结果与公式给出的解析结果对照验证。
四、操作步骤
从下拉菜单选一个常用积分公式；
函数与区间自动填入，可自行修改；
点击“计算”查看数值结果与解析对照。
五、例题
例：
∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = −(−1)−(−1)=2。工具选“正弦”给出 2.000000。
六、易错点
∫1/x dx 是 ln|x|，不要漏绝对值；
∫xⁿ 要求 n≠−1，n=−1 时单独是 ln|x|；
数值结果用于验证，正式计算仍以解析公式为准。
❓ 常见问题｜基本积分公式
为什么 ∫xⁿ 要求 n≠−1？
因为 n=−1 时 ∫x⁻¹ dx=ln|x|，幂公式 x^(n+1)/(n+1) 分母为零失效，需单独记忆。
怎么记住这些公式？
与导数公式对照记：求导把指数降一，积分把指数升一再除新指数。
下拉选了公式还能改吗？
可以。选择后会自动填入，你仍可在输入框修改 f(x) 与上下限。
数值结果和解析为什么不完全相等？
自适应积分误差约 1e-6，属正常。
支持哪些写法？
sin/cos/exp/log/sec/sqrt/pi/e 等，乘号不能省略。