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基本積分公式線上計算
選擇常用基本積分公式（冪、1/x、e^x、三角、反三角），自動填入並數值驗證結果。
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∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
預設範例
—
冪函數 ∫x²
冪函數 ∫x³
倒數 ∫1/x
指數 ∫eˣ
正弦 ∫sin x
餘弦 ∫cos x
正割平方 ∫sec²x
反正切 ∫1/(1+x²)
選擇一個範例以自動填入 f(x) 與區間。
函數 f(x)
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
下限 a
積分下限
上限 b
積分上限
計算結果
結果 ≈
計算
填入範例
複製結果
清除
📖 使用教學｜基本積分公式
一、定義
基本積分公式是由基本微分公式反推得到的積分公式，是計算一切積分的基石。掌握它們之後，複雜積分靠換元、分部等方法化歸到這些基本型。
二、常用公式表
符號
含義
∫xⁿ dx
x^(n+1)/(n+1)+C（n≠−1）
∫1/x dx
ln|x|+C
∫eˣ dx
eˣ+C
∫sin x dx
−cos x+C
∫cos x dx
sin x+C
∫sec²x dx
tan x+C
∫1/(1+x²)dx
atan x+C
三、本工具的原理
下拉選擇一個基本型，自動填入 f(x) 與區間；
用自適應辛普森法數值計算 ∫_a^b f(x)dx；
把數值結果與公式給出的解析結果對照驗證。
四、操作步驟
從下拉選單選一個常用積分公式；
函數與區間自動填入，可自行修改；
點擊「計算」查看數值結果與解析對照。
五、範例
例：
∫₀^π sin x dx = [−cos x]₀^π = −(−1)−(−1)=2。工具選「正弦」給出 2.000000。
六、易錯點
∫1/x dx 是 ln|x|，不要漏絕對值；
∫xⁿ 要求 n≠−1，n=−1 時單獨是 ln|x|；
數值結果用於驗證，正式計算仍以解析公式為準。
❓ 常見問題｜基本積分公式
為什麼 ∫xⁿ 要求 n≠−1？
因為 n=−1 時 ∫x⁻¹ dx=ln|x|，冪公式 x^(n+1)/(n+1) 分母為零失效，需單獨記憶。
怎麼記住這些公式？
與微分公式對照記：微分把指數降一，積分把指數升一再除新指數。
下拉選了公式還能改嗎？
可以。選擇後會自動填入，你仍可在輸入框修改 f(x) 與上下限。
數值結果和解析為什麼不完全相等？
自適應積分誤差約 1e-6，屬正常。
支援哪些寫法？
sin/cos/exp/log/sec/sqrt/pi/e 等，乘號不可省略。