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伯努利方程

伯努利微分方程在线求解器，输入 P(x)、Q(x)、指数 n 与初值，自动作代换化为一阶线性方程并数值求解，附步骤说明，适合常微分方程课程练习。

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y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ, z = y^(1−n)
y 的系数
右端项系数
n ≠ 0,1
初始 x
初始 y(x₀)
求解终点

📖 使用教程｜伯努利方程

一、定义
形如 y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ（n≠0,1）的方程称为伯努利方程。令 z = y^(1−n) 可化为一阶线性方程。
二、符号说明
符号含义
n幂次（≠0,1）
z新变量 y^(1−n)
1−n代换指数
三、本工具的原理
  • 两边除以 yⁿ：y^(−n) y′ + P y^(1−n) = Q；
  • 令 z = y^(1−n)，则 z′ = (1−n) y^(−n) y′；
  • 方程化为 z′ + (1−n)P z = (1−n)Q 的线性形式；
  • 解出 z 后回代 y = z^(1/(1−n))。
四、操作步骤
  1. 输入 P(x)、Q(x) 与幂 n；
  2. 输入初值与目标 x₁；
  3. 点击计算查看代换过程与数值解。
五、例题
例：y′ = y²，y(0)=1。n=2，令 z=y^(−1)，z′=−y^(−2)y′=−1，z=−x+C，z(0)=1 得 C=1，y=1/(1−x)。数值解 y(1) 发散（精确解在 x=1 处有奇点），请取较小 x₁。
六、易错点
n=0 或 1 时分别退化为线性方程，不用代换；
y=0 是特解，代换时会漏掉；
注意回代指数是 1/(1−n)。

❓ 常见问题｜伯努利方程

伯努利方程和线性方程有什么关系？
令 z=y^(1−n) 后就变成一阶线性方程，再用积分因子法求解。
n 可以是哪些值？
n≠0,1 的任意实数；n=0 是线性，n=1 是可分离。
y=0 为什么会漏掉？
代换 z=y^(1−n) 时除以了 y，y=0 不满足代换，需单独验证。
本工具给精确解吗？
本工具用欧拉法数值近似，精确解需按线性方程求解后回代。
数值解发散怎么办？
说明解在该处有奇点，换一个较小的 x₁ 即可。