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伯努利方程

白努利微分方程線上求解器，輸入 P(x)、Q(x)、指數 n 與初值，自動作變數代換化為一階線性方程並數值求解，附步驟說明，適合常微分方程課程練習。

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y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ, z = y^(1−n)
y 的係數
右端項係數
n ≠ 0,1
初始 x
初始 y(x₀)
求解終點

📖 使用教學｜伯努利方程

一、定義
形如 y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ（n≠0,1）的方程稱為伯努利方程。令 z = y^(1−n) 可化為一階線性方程。
二、符號說明
符號意義
n冪次（≠0,1）
z新變數 y^(1−n)
1−n代換指數
三、本工具的原理
  • 兩邊除以 yⁿ：y^(−n) y′ + P y^(1−n) = Q；
  • 令 z = y^(1−n)，則 z′ = (1−n) y^(−n) y′；
  • 方程化為 z′ + (1−n)P z = (1−n)Q 的線性形式；
  • 解出 z 後回代 y = z^(1/(1−n))。
四、操作步驟
  1. 輸入 P(x)、Q(x) 與冪 n；
  2. 輸入初值與目標 x₁；
  3. 點擊計算查看代換過程與數值解。
五、範例
範例：y′ = y²，y(0)=1。n=2，令 z=y^(−1)，z′=−y^(−2)y′=−1，z=−x+C，z(0)=1 得 C=1，y=1/(1−x)。數值解 y(1) 發散（精確解在 x=1 處有奇點），請取較小 x₁。
六、易錯點
n=0 或 1 時分別退化為線性方程，不用代換；
y=0 是特解，代換時會漏掉；
注意回代指數是 1/(1−n)。

❓ 常見問題｜伯努利方程

伯努利方程和線性方程有什麼關係？
令 z=y^(1−n) 後就變成一階線性方程，再用積分因子法求解。
n 可以是哪些值？
n≠0,1 的任意實數；n=0 是線性，n=1 是可分離。
y=0 為什麼會漏掉？
代換 z=y^(1−n) 時除以了 y，y=0 不滿足代換，需單獨驗證。
本工具給精確解嗎？
本工具用歐拉法數值近似，精確解需按線性方程求解後回代。
數值解發散怎麼辦？
說明解在該處有奇點，換一個較小的 x₁ 即可。