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柯西不等式计算器

柯西不等式（二维）在线验证：输入两个二维向量分量，比较点积平方与模平方之积。

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(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)
向量 a 分量
向量 a 分量
向量 b 分量
向量 b 分量

📖 使用教程｜柯西

一、定义
对两个二维向量：(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)，等号当两向量共线（成比例）。
二、公式与符号
a=(a₁,a₂)向量 a
a·b点积
三、性质与运算律
  • (a·b)²≤|a|²|b|²；
  • 向量式 |a·b|≤|a||b|；
  • 等号当共线；
  • 可推广 n 维。
四、操作步骤
  1. 输入四个分量；
  2. 点击「验证」；
  3. 也可点「填入示例」。
五、例题
例：a=(1,2)、b=(3,4)。
解：点积=11、L=121；R=5×25=125。
六、易错点
别漏平方；
等号是成比例；
点积可负、平方非负。

❓ 常见问题｜柯西

二维形式？
点积平方≤模平方积。
等号？
共线。
向量式？
|a·b|≤|a||b|。
应用？
证不等式、最值。
点积负？
平方后比。
n 维？
成立。
与余弦？
由 |cosθ|≤1。