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中心极限定理计算器

中心极限定理在线演示器，从均匀总体反复抽样，动态展示样本均值逐渐趋近正态分布的过程与标准误 σ/√n，直观理解抽样分布的正态近似。

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X̄ₙ ~ N(μ, σ²/n)（近似）
每次抽样取 n 个值
共计算 m 个样本均值

📖 使用教程｜中心极限定理

一、定义
中心极限定理（CLT）：从期望 μ、方差 σ² 的总体独立抽样，当 n 足够大时，样本均值 X̄ₙ 近似服从正态 N(μ, σ²/n)，无论总体是否正态。
二、符号说明
符号含义
X̄ₙ容量为 n 的样本均值
μ总体期望（此处 0.5）
σ总体标准差（此处 1/√12）
σ/√n标准误
三、本工具的原理
  • 从均匀 U(0,1) 重复抽样 m 次，每次取 n 个；
  • 计算这 m 个样本均值的均值与标准差；
  • 均值的均值应接近 0.5；
  • 其标准差应接近 σ/√n；
  • 分布近似钟形。
四、操作步骤
  1. 输入每次抽样容量 n，例如 30；
  2. 输入重复次数 m，例如 10000；
  3. 点击计算，比较观测值与理论值；
  4. 增大 n，观察标准误变小。
五、例题
例：n=30，均匀 U(0,1) 期望 0.5、σ=1/√12≈0.2887。理论标准误 σ/√30≈0.0527，m=10000 时观测的样本均值标准差约 0.05。
六、易错点
n 太小（如 5）时正态近似较差；
m 影响估计稳定性，但不改变 σ/√n 理论值；
本工具用固定种子，结果可复现。

❓ 常见问题｜中心极限定理

为什么样本均值会近似正态？
大量独立小波动叠加，由 CLT，和（平均）的分布趋于正态。
标准误是什么？
=σ/√n，样本均值的标准差，衡量估计误差随 n 的变化。
n 多大才算“足够大”？
一般 n≥30 近似良好；总体越偏态所需 n 越大。
本工具用什么总体？
默认均匀 U(0,1)，期望 0.5、方差 1/12。
和大数定律什么关系？
大数定律保证均值收敛到 μ；CLT 描述收敛时波动的正态形态。