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中央極限定理計算器

中央極限定理線上演示器，從均勻母體反覆抽樣，動態展示樣本平均數逐漸趨於常態分布的過程與標準誤 σ/√n，直觀理解抽樣分布的常態近似。

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X̄ₙ ~ N(μ, σ²/n)（近似）
每次抽樣取 n 個值
共計算 m 個樣本平均數

📖 使用教學｜中央極限定理

一、定義
中央極限定理（CLT）：從期望 μ、變異數 σ² 的母體獨立抽樣，當 n 夠大時，樣本平均數 X̄ₙ 近似服從常態 N(μ, σ²/n)，無論母體是否常態。
二、符號說明
符号意義
X̄ₙ容量為 n 的樣本平均數
μ母體期望（此處 0.5）
σ母體標準差（此處 1/√12）
σ/√n標準誤
三、本工具的原理
  • 從均勻 U(0,1) 重複抽樣 m 次，每次取 n 個；
  • 計算這 m 個樣本平均數的平均與標準差；
  • 平均之平均應接近 0.5；
  • 其標準差應接近 σ/√n；
  • 分布近似鐘形。
四、操作步驟
  1. 輸入每次抽樣數 n，例如 30；
  2. 輸入重複次數 m，例如 10000；
  3. 點擊計算，比較觀測值與理論值；
  4. 增大 n，觀察標準誤變小。
五、範例
範例：n=30，均勻 U(0,1) 期望 0.5、σ=1/√12≈0.2887。理論標準誤 σ/√30≈0.0527，m=10000 時觀測的樣本平均數標準差約 0.05。
六、易錯點
n 太小（如 5）時常態近似較差；
m 影響估計穩定性，但不改變 σ/√n 理論值；
本工具用固定種子，結果可重現。

❓ 常見問題｜中央極限定理

為什麼樣本平均數會近似常態？
大量獨立小波動疊加，由 CLT，平均數的分布趨於常態。
標準誤是什麼？
=σ/√n，樣本平均數的標準差，衡量估計誤差隨 n 的變化。
n 多大才算「夠大」？
一般 n≥30 近似良好；母體越偏態所需 n 越大。
本工具用什麼母體？
預設均勻 U(0,1)，期望 0.5、變異數 1/12。
和大數定律什麼關係？
大數定律保證平均數收斂到 μ；CLT 描述收斂時波動的常態形態。