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链式法则计算器

复合函数链式法则在线求导器，输入内层 u(x) 与外层 f(u)，自动计算复合函数 y=f(u(x)) 在 x 处的导数 y′=f′(u)·u′(x)，附分步演示，适合链式法则练习。

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y = f(u(x)) ⇒ dy/dx = f′(u)·u′(x)
用 x 表示
用变量 u 表示
在此点求复合导数

📖 使用教程｜链式法则

一、定义
若 y=f(u)、u=u(x)，则复合函数 dy/dx = f′(u)·u′(x)，即“外层导数乘内层导数”。
二、符号说明
符号含义
u(x)内层函数
f(u)外层函数
u′(x)内层导数
f′(u)外层对 u 的导数
三、本工具的原理
  • 本工具分别数值求 u′(x) 与 f′(u)；
  • 相乘即得复合函数在该点的导数；
  • 外层表达式必须用变量 u。
四、操作步骤
  1. 输入内层 u(x)（用 x）；
  2. 输入外层 f(u)（用 u）；
  3. 输入点 x，点击计算。
五、例题
例：y=sin(x²)。内层 u=x²，外层 f(u)=sin u。u′=2x=4，f′(u)=cos u=cos4，故 y′=4cos4≈−2.615。
六、易错点
外层函数要用 u 表示，不能再写 x；
别漏乘内层导数 u′；
多层复合要层层相乘。

❓ 常见问题｜链式法则

链式法则的口诀是什么？
“由外向内，逐层求导，相乘到底”：先对外层求导，再乘以内层导数。
为什么外层要用 u 表示？
这样工具才能分别对内、外层独立求导，再用链式法则相乘。
三层复合怎么求？
例如 f(g(h(x)))，导数 = f′·g′·h′，三层逐层相乘。
链式法则和乘积法则有什么区别？
链式处理嵌套复合 f(g(x))，乘积处理并列相乘 f(x)·g(x)。
数值结果为什么略有误差？
u′ 与 f′(u) 都用中心差分近似，误差在 1e-5 量级。