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鏈式法則計算機

複合函數鏈法則線上求導器，輸入內層 u(x) 與外層 f(u)，自動計算複合函數 y=f(u(x)) 在 x 處的導數 y′=f′(u)·u′(x)，附分步演示，適合鏈法則練習。

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y = f(u(x)) ⇒ dy/dx = f′(u)·u′(x)
用 x 表示
用變數 u 表示
在此點求複合導數

📖 使用教學｜鏈式法則

一、定義
若 y=f(u)、u=u(x)，則複合函數 dy/dx = f′(u)·u′(x)，即「外層導數乘內層導數」。
二、符號說明
符號意義
u(x)內層函數
f(u)外層函數
u′(x)內層導數
f′(u)外層對 u 的導數
三、本工具的原理
  • 本工具分別數值求 u′(x) 與 f′(u)；
  • 相乘即得複合函數在該點的導數；
  • 外層運算式必須用變數 u。
四、操作步驟
  1. 輸入內層 u(x)（用 x）；
  2. 輸入外層 f(u)（用 u）；
  3. 輸入點 x，點擊計算。
五、範例
例：y=sin(x²)。內層 u=x²，外層 f(u)=sin u。u′=2x=4，f′(u)=cos u=cos4，故 y′=4cos4≈−2.615。
六、易錯點
外層函數要用 u 表示，不能再寫 x；
別漏乘內層導數 u′；
多層複合要層層相乘。

❓ 常見問題｜鏈式法則

鏈式法則的口訣是什麼？
「由外向內，逐層求導，相乘到底」：先對外層求導，再乘以內層導數。
為什麼外層要用 u 表示？
這樣工具才能分別對內、外層獨立求導，再用鏈式法則相乘。
三層複合怎麼求？
例如 f(g(h(x)))，導數 = f′·g′·h′，三層逐層相乘。
鏈式法則和乘積法則有什麼區別？
鏈式處理嵌套複合 f(g(x))，乘積處理並列相乘 f(x)·g(x)。
數值結果為什麼略有誤差？
u′ 與 f′(u) 都用中心差分近似，誤差在 1e-5 量級。