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特征方程法计算器

二阶线性递推在线计算：给定 a_n=p·a_(n−1)+q·a_(n−2)、初值与项数，迭代求第 n 项并显示特征根，斐波那契是经典例子。

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a_n=p·a_(n−1)+q·a_(n−2)；r²−pr−q=0
第一项
第二项
a_(n−1) 系数
a_(n−2) 系数
正整数

📖 使用教程｜特征方程

一、定义
二阶线性递推 a_n=p·a_(n−1)+q·a_(n−2) 对应特征方程 r²−pr−q=0，根 r=(p±√(p²+4q))/2，决定通项结构。
二、公式与符号
a₁、a₂两个初值
p、q递推系数
r特征根
三、性质与运算律
  • 特征方程 r²−pr−q=0；
  • 两不等实根时通项为 A r₁^n+B r₂^n；
  • 斐波那契 p=q=1，根含黄金比；
  • 重根、复根形式不同。
四、操作步骤
  1. 输入 a₁、a₂、p、q、n；
  2. 点击「求第 n 项」看特征根与前若干项；
  3. 也可点「填入示例」。
五、例题
例：斐波那契 1,1,2,3,5,…（p=q=1）。
解：逐项迭代，第10项=55。
六、易错点
需要两个初值；
特征方程常数项是 −q；
复根时数列仍为实数。

❓ 常见问题｜特征方程

特征方程？
r²−pr−q=0。
特征根？
(p±√(p²+4q))/2。
斐波那契？
p=q=1。
黄金比？
(1+√5)/2≈1.618。
几个初值？
两个。
判别式为负？
共轭复根，数列仍实。
通项？
两根的线性组合。