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比较判别法计算器

与已知敛散的参照级数比较，用极限形式快速判定正项级数。

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L = lim(a_n/b_n) ∈ (0,∞) ⇒ 同敛散
例如 1/(n^2+1)
例如 1/(n^2)
1=收敛 0=发散

📖 使用教程｜比较判别法

一、定理
对正项级数 Σ a_n 与 Σ b_n，若 L = lim(a_n/b_n) 存在且 0，则两级数同敛散。若 L=0 且 b_n 收敛，则 a_n 收敛；若 L=∞ 且 b_n 发散，则 a_n 发散。
二、符号说明
a_n待判级数通项
b_n参照级数通项
L = a_n/b_n比值的极限
知道 b_n 敛散作为判断依据
三、本工具的原理
  • 取很大的 n=100000 近似极限；
  • 计算 a_n/b_n；
  • L 为正常数 → 与参照级数同敛散；
  • L=0 时若参照收敛则更收敛；L→∞ 时若参照发散则更发散。
四、操作步骤
  1. 输入待判 a_n，例如 1/(n^2+1)；
  2. 输入参照 b_n，例如 1/(n^2)；
  3. 在「参照级数」填 1（收敛）或 0（发散）；
  4. 点击「计算」查看结论。
五、例题
例：判断 Σ 1/(n²+1)。
解：取 b_n=1/n²（已知收敛），n 很大时 a_n/b_n = n²/(n²+1)→1>0，与参照同敛散，故原级数收敛。
六、易错点
两级数都必须是正项级数；
b_n 必须是已知敛散、便于比较的级数（常取 p-级数）；
L 为正常数时结论最强，边界情形需另行讨论。

❓ 常见问题｜比较判别法

参照级数怎么选？
通常选 p-级数 Σ1/n^p 或几何级数，使其与待判通项的主阶一致。
L 为正常数意味着什么？
两级数渐近同阶，敛散性完全相同。
L=0 如何判断？
若参照级数收敛，则 a_n 收敛；若参照发散，不能判定。
这个工具严格吗？
它用大 n 近似极限，用于快速判断；严格证明需写出极限的 ε-N 论证。
待判级数不是正项能用吗？
不能直接用比较判别法；可先取绝对值用比较法判断绝对收敛。