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比較判別法計算器

與已知斂散的參照級數比較，用極限形式快速判定正項級數。

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L = lim(a_n/b_n) ∈ (0,∞) ⇒ 同敛散
例如 1/(n^2+1)
例如 1/(n^2)
1=收斂 0=發散

📖 使用教學｜比較判別法

一、定理
對正項級數 Σ a_n 與 Σ b_n，若 L = lim(a_n/b_n) 存在且 0，則兩級數同斂散。若 L=0 且 b_n 收斂，則 a_n 收斂；若 L=∞ 且 b_n 發散，則 a_n 發散。
二、符號說明
a_n待判級數通項
b_n參照級數通項
L = a_n/b_n比值的極限
知道 b_n 斂散作為判斷依據
三、本工具的原理
  • 取很大的 n=100000 近似極限；
  • 計算 a_n/b_n；
  • L 為正常數 → 與參照級數同斂散；
  • L=0 時若參照收斂則更收斂；L→∞ 時若參照發散則更發散。
四、操作步驟
  1. 輸入待判 a_n，例如 1/(n^2+1)；
  2. 輸入參照 b_n，例如 1/(n^2)；
  3. 在「參照級數」填 1（收斂）或 0（發散）；
  4. 點擊「計算」查看結論。
五、範例
範例：判斷 Σ 1/(n²+1)。
解：取 b_n=1/n²（已知收斂），n 很大時 a_n/b_n = n²/(n²+1)→1>0，與參照同斂散，故原級數收斂。
六、易錯點
兩級數都必須是正項級數；
b_n 必須是已知斂散、便於比較的級數（常取 p-級數）；
L 為正常數時結論最強，邊界情形需另行討論。

❓ 常見問題｜比較判別法

參照級數怎麼選？
通常選 p-級數 Σ1/n^p 或幾何級數，使其與待判通項的主階一致。
L 為正常數意味著什麼？
兩級數漸近同階，斂散性完全相同。
L=0 如何判斷？
若參照級數收斂，則 a_n 收斂；若參照發散，不能判定。
這個工具嚴格嗎？
它用大 n 近似極限，用於快速判斷；嚴格證明需寫出極限的 ε-N 論證。
待判級數不是正項能用嗎？
不能直接用比較判別法；可先取絕對值用比較法判斷絕對收斂。