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连续性与间断点计算器

函数连续性与间断点在线判别器，输入 f(x) 与点 a，分别计算 f(a) 与左、右极限，自动判定该点为连续、可去、跳跃还是无穷间断，附结论解释。

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f 在 a 连续 ⇔ f(a) 存在 且 lim f = f(a)
支持 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
判断 f 在该点的连续性

📖 使用教程｜连续性与间断点

一、定义
f(x) 在 a 连续，当且仅当 f(a) 有定义、左极限等于右极限、且都等于 f(a)。否则 a 为间断点。
二、符号说明
符号含义
f(a)函数在 a 处的值
f(a−0)左极限
f(a+0)右极限
a考察的点
三、本工具的原理
  • 本工具计算 f(a) 与 f(a±h)（h 递减）；
  • 比较左、右极限与 f(a) 三者是否一致；
  • 按可去、跳跃、无穷、振荡自动归类。
四、操作步骤
  1. 输入 f(x)，如 (x^2-1)/(x-1)；
  2. 输入考察点 a，如 1；
  3. 点击计算查看间断点类型；
  4. 可去间断点可补充定义使其连续。
五、例题
例：f(x)=(x²−1)/(x−1) 在 x=1。
解：f(1) 无定义，但左右极限都为 2，故为可去间断点，补充定义 f(1)=2 后连续。
六、易错点
连续要求 f(a)、左极限、右极限三者完全一致；
可去间断点是“可补”的，跳跃与无穷不可补；
振荡型间断（如 sin(1/x)）数值法难以判定。

❓ 常见问题｜连续性与间断点

什么是可去间断点？
左右极限存在且相等，但 f(a) 无定义或不等于极限。补充定义 f(a)=极限值即可连续。
跳跃间断和无穷间断有什么区别？
跳跃：左右极限都有限但不等；无穷：至少一侧极限为 ±∞，对应铅直渐近线。
函数在 a 连续有哪三个条件？
① f(a) 有定义；② 左、右极限都存在；③ 三者相等。缺一不可。
为什么 sin(1/x) 在 0 处无法判定？
它在 0 附近无限振荡，f(0±h) 不收敛，数值逼近不稳定，属于振荡间断点。
补充定义后函数就连续了吗？
只对可去间断点成立。跳跃、无穷、振荡间断点不能靠补定义变连续。