主頁

連續性與間斷點計算機

函數連續性與間斷點線上判別器，輸入 f(x) 與點 a，分別計算 f(a) 與左、右極限，自動判定該點為連續、可去、跳躍還是無窮間斷，附結論解釋。

展開更多 ▾
f 在 a 連續 ⇔ f(a) 存在 且 lim f = f(a)
支援 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
判斷 f 在該點的連續性

📖 使用教學｜連續性與間斷點

一、定義
f(x) 在 a 連續，若且唯若 f(a) 有定義、左極限等於右極限、且都等於 f(a)。否則 a 為中斷點。
二、符號說明
符號意義
f(a)函數在 a 處的值
f(a−0)左極限
f(a+0)右極限
a考察的點
三、本工具的原理
  • 本工具計算 f(a) 與 f(a±h)（h 遞減）；
  • 比較左、右極限與 f(a) 三者是否一致；
  • 按可去、跳躍、無窮、振盪自動歸類。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)，如 (x^2-1)/(x-1)；
  2. 輸入考察點 a，如 1；
  3. 點擊計算查看中斷點類型；
  4. 可去中斷點可補充定義使其連續。
五、範例
例：f(x)=(x²−1)/(x−1) 在 x=1。
解：f(1) 無定義，但左右極限都為 2，故為可去中斷點，補充定義 f(1)=2 後連續。
六、易錯點
連續要求 f(a)、左極限、右極限三者完全一致；
可去中斷點是「可補」的，跳躍與無窮不可補；
振盪型中斷（如 sin(1/x)）數值法難以判定。

❓ 常見問題｜連續性與間斷點

什麼是可去中斷點？
左右極限存在且相等，但 f(a) 無定義或不等於極限。補充定義 f(a)=極限值即可連續。
跳躍中斷和無窮中斷有什麼區別？
跳躍：左右極限都有限但不等；無窮：至少一側極限為 ±∞，對應鉛直漸近線。
函數在 a 連續有哪三個條件？
① f(a) 有定義；② 左、右極限都存在；③ 三者相等。缺一不可。
為什麼 sin(1/x) 在 0 處無法判定？
它在 0 附近無限振盪，f(0±h) 不收斂，數值逼近不穩定，屬於振盪中斷點。
補充定義後函數就連續了嗎？
只對可去中斷點成立。跳躍、無窮、振盪中斷點不能靠補定義變連續。