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散度与旋度计算器

散度与旋度在线计算器，输入三维向量场与一点，自动算出散度 div F 与旋度 curl F 的各分量，附物理意义说明，适合场论与微积分练习。

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div F = P_x+Q_y+R_z ， curl F = (R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y)
例如 x^2
例如 y*z
例如 z

📖 使用教程｜散度与旋度

一、定义
散度 div F=P_x+Q_y+R_z 是标量，描述场源强度；旋度 curl F=(R_y−Q_z, P_z−R_x, Q_x−P_y) 是向量，描述旋转。
二、符号说明
(P,Q,R)向量场
div F散度（标量）
curl F旋度（向量）
三、本工具的原理
  • 数值求各偏导；
  • 按公式组合得散度与旋度。
四、操作步骤
  1. 输入 P、Q、R 与点；
  2. 点击「计算」。
五、例题
例：F=(x²,yz,z) 在 (1,2,3)。
解：P_x=2x=2，Q_y=z=3，R_z=1，div=6；curl=(y−0,0−0,0−0)=(2,0,0)。
六、易错点
散度是标量，旋度是向量，不要混淆；
散度为正表示源，为负表示汇；
旋度为零向量则场无旋。

❓ 常见问题｜散度与旋度

散度物理意义？
单位体积流出量，正值为源、负值为汇。
旋度方向？
沿右手定则的旋转轴方向。
无旋场是什么？
curl F=0，如引力场、静电场。
无源场是什么？
div F=0，如不可压缩流体速度场。
二维旋度？
就是格林公式中的 Q_x−P_y。