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全微分方程

全微分方程在线判别器，输入 M(x,y)、N(x,y) 与检验点，自动检验 ∂M/∂y=∂N/∂x 是否成立并数值求解势函数，适合常微分方程课程。

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M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, ∂M/∂y = ∂N/∂x
dx 的系数
dy 的系数
在该点检验
在该点检验

📖 使用教程｜全微分方程

一、定义
若存在函数 u(x,y) 使 du = M(x,y)dx + N(x,y)dy，则 M dx + N dy = 0 称为全微分方程。判定条件为 ∂M/∂y = ∂N/∂x。
二、符号说明
符号含义
M(x,y)dx 的系数
N(x,y)dy 的系数
u(x,y)势函数，满足 du=Mdx+Ndy
∂M/∂yM 对 y 的偏导
三、本工具的原理
  • 全微分必要条件：∂M/∂y = ∂N/∂x（在单连通区域内也是充分的）；
  • 本工具用中心差分数值计算两个偏导数；
  • 两偏导数相等时，方程 u(x,y)=C 即为通解。
四、操作步骤
  1. 输入 M(x,y) 与 N(x,y)；
  2. 输入检验点坐标；
  3. 点击计算查看两偏导数值与判定结果。
五、例题
例：2xy dx + (x²+3y²) dy = 0。∂M/∂y=2x，∂N/∂x=2x，相等，是全微分方程。势函数 u=x²y+y³=C。
六、易错点
数值差分有误差，差值小于 1e-3 视为相等；
区域必须单连通，否则条件可能不充分；
判断全微分是为了找势函数，不是直接给数值解。

❓ 常见问题｜全微分方程

什么是全微分方程？
存在势函数 u 使 du=Mdx+Ndy，此时原方程即 u(x,y)=C。
判定条件是什么？
在单连通区域内，∂M/∂y 恒等于 ∂N/∂x。
本工具为什么用数值差分？
用于快速演示判定过程；手算时应直接求偏导符号验证。
判定为全微分后怎么解？
积分 M 对 x 得 u=∫M dx + φ(y)，再对 y 求导与 N 比较定出 φ(y)。
不相等怎么办？
可尝试乘积分因子 μ(x,y) 使其变为全微分方程。