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全微分方程

全微分方程線上判別器，輸入 M(x,y)、N(x,y) 與檢驗點，自動檢驗 ∂M/∂y=∂N/∂x 是否成立並數值求解位勢函數，適合常微分方程課程。

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M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, ∂M/∂y = ∂N/∂x
dx 的係數
dy 的係數
在該點檢驗
在該點檢驗

📖 使用教學｜全微分方程

一、定義
若存在函數 u(x,y) 使 du = M(x,y)dx + N(x,y)dy，則 M dx + N dy = 0 稱為全微分方程。判定條件為 ∂M/∂y = ∂N/∂x。
二、符號說明
符號意義
M(x,y)dx 的係數
N(x,y)dy 的係數
u(x,y)勢函數，滿足 du=Mdx+Ndy
∂M/∂yM 對 y 的偏導
三、本工具的原理
  • 全微分必要條件：∂M/∂y = ∂N/∂x（在單連通區域內也是充分的）；
  • 本工具用中心差分數值計算兩個偏導數；
  • 兩偏導數相等時，方程 u(x,y)=C 即為通解。
四、操作步驟
  1. 輸入 M(x,y) 與 N(x,y)；
  2. 輸入檢驗點座標；
  3. 點擊計算查看兩偏導數值與判定結果。
五、範例
範例：2xy dx + (x²+3y²) dy = 0。∂M/∂y=2x，∂N/∂x=2x，相等，是全微分方程。勢函數 u=x²y+y³=C。
六、易錯點
數值差分有誤差，差值小於 1e-3 視為相等；
區域必須單連通，否則條件可能不充分；
判斷全微分是為了找勢函數，不是直接給數值解。

❓ 常見問題｜全微分方程

什麼是全微分方程？
存在勢函數 u 使 du=Mdx+Ndy，此時原方程即 u(x,y)=C。
判定條件是什麼？
在單連通區域內，∂M/∂y 恆等於 ∂N/∂x。
本工具為什麼用數值差分？
用於快速演示判定過程；手算時應直接求偏導符號驗證。
判定為全微分後怎麼解？
積分 M 對 x 得 u=∫M dx + φ(y)，再對 y 求導與 N 比較定出 φ(y)。
不相等怎麼辦？
可嘗試乘積分因子 μ(x,y) 使其變為全微分方程。