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高斯公式（散度定理）计算器

散度定理（高斯公式）在线演示器，在长方体区域上积分散度并与边界通量对比，数值验证 ∭F·dS=∭div F dV，直观理解通量与散度关系。

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∯_S F·n dS = ∭_V div F dV
例如 x
例如 y
例如 z

📖 使用教程｜高斯公式

一、定理
高斯公式（散度定理）：穿过闭曲面 S 外侧的总通量等于散度在体积 V 上的三重积分：∯_S F·n dS = ∭_V div F dV。
二、符号说明
F=(P,Q,R)向量场
S闭曲面外侧
div F散度
V包围的体积
三、本工具的原理
  • 逐点数值求散度；
  • 三维辛普森积分；
  • 结果等于闭曲面总通量。
四、操作步骤
  1. 输入 P、Q、R；
  2. 输入长方体六限；
  3. 点击「计算」。
五、例题
例：F=(x,y,z) 在 [0,1]³。
解：div=1+1+1=3，体积=1，故 ∭div dV=3×1=3。
六、易错点
本工具算体积分一侧；
闭曲面必须取外侧法向；
div 为常数时结果=div×体积。

❓ 常见问题｜高斯公式

散度定理有什么用？
把闭曲面通量面积分化为体积分，常更易算。
通量是什么？
场穿过曲面的净流量。
外侧法向怎么定？
指向体积外部。
为什么结果是 3？
div F=3，体积=1。
和斯托克斯公式关系？
高斯公式是三维版，斯托克斯是二维曲面上的环流版。