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格林公式计算器

格林公式在线验证器，用闭合曲线积分与二重积分相互验证 ∮Pdx+Qdy=∬(∂Q/∂x−∂P/∂y)dA，附区域说明，适合曲线积分章节学习。

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∮ P dx+Q dy = ∬_D (Q_x − P_y) dA
例如 x*y
例如 x^2

📖 使用教程｜格林公式

一、定理
格林公式：设 D 为闭区域，L 为正向（逆时针）边界，则 ∮_L P dx+Q dy = ∬_D (Q_x−P_y) dA。把线积分化为二重积分。
二、符号说明
P,Q向量场分量
L正向边界
Q_x−P_y旋度(二维)
D区域
三、本工具的原理
  • 沿矩形四边逆时针算闭合线积分；
  • 数值求 Q_x、P_y；
  • 矩形上用中心值乘面积近似二重积分；
  • 两者应相等。
四、操作步骤
  1. 输入 P、Q；
  2. 输入矩形边界；
  3. 点击「计算」。
五、例题
例：P=xy, Q=x² 在 [0,1]²。
解：Q_x=2x, P_y=x，在中心 (0.5,0.5) 差=1−0.5=0.5，面积 1，二重积分≈0.5；闭合线积分也≈0.5。
六、易错点
边界方向必须取正向（逆时针）；
本工具矩形上用中心近似，与严格积分略有误差；
单连通区域条件需满足。

❓ 常见问题｜格林公式

格林公式有什么用？
把复杂的闭曲线积分化为易算的二重积分。
正向怎么取？
沿边界行走时区域在左侧，即逆时针。
Qx−Py 是什么？
二维旋度，反映场的“旋转”程度。
本工具的二重积分为何是近似？
矩形上用中心值估计，便于快速对照。
什么时候线积分与路径无关？
Qx=Py（无旋）时。