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格林公式計算器

格林公式線上驗證器，用閉合曲線積分與二重積分相互驗證 ∮Pdx+Qdy=∬(∂Q/∂x−∂P/∂y)dA，附區域說明，適合曲線積分章節學習。

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∮ P dx+Q dy = ∬_D (Q_x − P_y) dA
例如 x*y
例如 x^2

📖 使用教學｜格林公式

一、定理
格林公式：設 D 為閉區域，L 為正向（逆時針）邊界，則 ∮_L P dx+Q dy = ∬_D (Q_x−P_y) dA。把線積分化為二重積分。
二、符號說明
P,Q向量場分量
L正向邊界
Q_x−P_y旋度(二維)
D區域
三、本工具的原理
  • 沿矩形四邊逆時針算閉合線積分；
  • 數值求 Q_x、P_y；
  • 矩形上用中心值乘面積近似二重積分；
  • 兩者應相等。
四、操作步驟
  1. 輸入 P、Q；
  2. 輸入矩形邊界；
  3. 點擊「計算」。
五、範例
範例：P=xy, Q=x² 在 [0,1]²。
解：Q_x=2x, P_y=x，中心差=0.5，面積 1，二重積分≈0.5；閉合線積分也≈0.5。
六、易錯點
邊界方向必須取正向（逆時針）；
本工具矩形上用中心近似，與嚴格積分略有誤差；
單連通區域條件需滿足。

❓ 常見問題｜格林公式

格林公式有什麼用？
把複雜的閉曲線積分化為易算的二重積分。
正向怎麼取？
沿邊界行走時區域在左側，即逆時針。
Qx−Py 是什麼？
二維旋度，反映場的「旋轉」程度。
本工具的二重積分為何是近似？
矩形上用中心值估計，便於快速對照。
什麼時候線積分與路徑無關？
Qx=Py（無旋）時。