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高阶导数计算器

高阶导数在线计算器，输入 f(x)、阶数 n 与点 x，用重复中心差分数值计算 f^(n)(x)，支持多阶快速求导，适合高阶导数与泰勒展开预备练习。

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f^(n)(x) = 对 f 连续求 n 次导
支持 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
整数 1~5
在此点求 n 阶导数

📖 使用教程｜高阶导数

一、定义
高阶导数是对 f 连续求导 n 次：f″=(f′)′，f‴=(f″)′，以此类推，记为 f^(n)(x)。
二、符号说明
记号含义
f′一阶导数
f″二阶导数
f‴三阶导数
f^(n)n 阶导数
三、本工具的原理
  • 本工具用中心差分递归求高阶导；
  • 每多一阶就再对结果做一次差分；
  • 数值给出 f^(n)(x)。
四、操作步骤
  1. 输入 f(x)；
  2. 输入阶数 n 与点 x；
  3. 点击计算。
五、例题
例：eˣ 的任意阶导数都是 eˣ，故 f^(3)(1)=e≈2.718。
六、易错点
高阶数值微分误差会累积，阶数越高越不准；
多项式的高阶导数最终变常数；
常见二阶导用于判断凹凸与极值。

❓ 常见问题｜高阶导数

二阶导数有什么用？
f″>0 凹、f″<0 凸；还能用二阶导判别法判断极值类型。
eˣ 的高阶导数是什么？
仍是 eˣ，这是指数函数的特殊性质。
为什么高阶结果会有误差？
每次数值差分都引入误差，n 阶就累积 n 次，阶数越高越明显。
sin x 的四阶导数是什么？
循环：sin→cos→−sin→−cos→sin，四阶回到 sin x。
多项式 x^5 的六阶导数？
五阶导数为常数 120，六阶及以上为 0。