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高階導數計算機

高階導數線上計算機，輸入 f(x)、階數 n 與點 x，用重複中心差分數值計算 f^(n)(x)，支援多階快速求導，適合高階導數與泰勒展開預備練習。

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f^(n)(x) = 對 f 連續求 n 次導
支援 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
整數 1~5
在此點求 n 階導數

📖 使用教學｜高階導數

一、定義
高階導數是對 f 連續求導 n 次：f″=(f′)′，f‴=(f″)′，以此類推，記為 f^(n)(x)。
二、符號說明
記號意義
f′一階導數
f″二階導數
f‴三階導數
f^(n)n 階導數
三、本工具的原理
  • 本工具用中心差分遞歸求高階導；
  • 每多一階就再對結果做一次差分；
  • 數值給出 f^(n)(x)。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)；
  2. 輸入階數 n 與點 x；
  3. 點擊計算。
五、範例
例：eˣ 的任意階導數都是 eˣ，故 f^(3)(1)=e≈2.718。
六、易錯點
高階數值微分誤差會累積，階數越高越不準；
多項式的高階導數最終變常數；
常見二階導用於判斷凹凸與極值。

❓ 常見問題｜高階導數

二階導數有什麼用？
f″>0 凹、f″<0 凸；還能用二階導判別法判斷極值類型。
eˣ 的高階導數是什麼？
仍是 eˣ，這是指數函數的特殊性質。
為什麼高階結果會有誤差？
每次數值差分都引入誤差，n 階就累積 n 次，階數越高越明顯。
sin x 的四階導數是什麼？
循環：sin→cos→−sin→−cos→sin，四階回到 sin x。
多項式 x^5 的六階導數？
五階導數為常數 120，六階及以上為 0。