一、定义
若方程 dy/dx 能写成 y/x 的函数 F(y/x)，称为齐次微分方程。令 v=y/x 即可化为可分离变量方程。
二、符号说明
| 符号 | 含义 |
|---|
| v | y/x 的新变量 |
| F(v) | 右端关于 v 的函数 |
| y = vx | 代换关系 |
三、本工具的原理
- 令 v = y/x，则 y = vx，dy/dx = v + x·dv/dx；
- 代入得 v + x dv/dx = F(v)，即 dv/(F(v)−v) = dx/x；
- 这是可分离变量方程，积分后回代 v=y/x；
- 本工具直接对 dy/dx=F(y/x) 用欧拉法数值求解。
四、操作步骤
- 把右端整理成只含 y/x 的形式 F(v)；
- 输入 F(v)、初值 x₀,y₀ 与目标 x₁；
- 点击计算查看代换过程与数值解。
五、例题
例：dy/dx = y/x，y(1)=2。令 v=y/x，则 v+x dv/dx = v，得 dv/dx=0，v=C=2，y=2x。数值解 y(2)=4，与精确解一致。
六、易错点
必须能把右端写成 y/x 的一元函数，否则不是齐次；
x₀ 不能为 0（y/x 无定义）；
回代时记得 v=y/x，不要把 v 当 y。