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反常积分在线计算

反常积分敛散性在线判别器，输入 p 判别 ∫₁^∞ 1/x^p dx 的收敛性，收敛时自动算出积分值并附 p 级数结论，适合无穷积分与级数学习。

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∫₁^∞ 1/x^p dx = {1/(p−1), p>1; 发散, p≤1}
∫₁^∞ 1/x^p dx 的指数 p

📖 使用教程｜反常积分

一、定义
反常积分指积分限含无穷大、或被积函数在区间上有无界点的积分。对 p-积分 ∫₁^∞ 1/x^p dx：当 p>1 时收敛于 1/(p−1)，当 p≤1 时发散。
二、符号说明
符号含义
∞无穷限
p幂指数
收敛极限存在且有限
发散极限不存在或无穷
三、本工具的原理
  • 按 p-积分的解析结论判别收敛性；
  • p>1 时直接给出 1/(p−1)；
  • p=1 为 ln x 型发散；p<1 幂次衰减更慢，亦发散。
四、操作步骤
  1. 输入参数 p；
  2. 点击“计算”；
  3. 查看收敛/发散结论与收敛值。
五、例题
例：p=2：∫₁^∞ 1/x² dx = [−1/x]₁^∞ = 1。p=1：∫₁^∞ 1/x dx = ln x→∞ 发散。
六、易错点
p=1 恰好发散（对数），不是收敛边界值；
积分下限改到 0 涉及另一类（无界点）；
收敛 ≠ 值小，只是有限。

❓ 常见问题｜反常积分

什么时候反常积分收敛？
对 ∫₁^∞ 1/x^p，p>1 收敛，p≤1 发散。
p=1 为什么发散？
∫1/x dx=ln x，x→∞ 时 ln x→∞，不趋于有限值。
收敛值是多少？
p>1 时为 1/(p−1)。
本工具只支持 1/x^p 吗？
是的，它专做经典 p-积分判别；一般反常积分需另做极限分析。
下限为 0 怎么办？
那是无界点型反常积分，需另行讨论。