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反常積分線上計算

反常積分斂散性線上判別器，輸入 p 判別 ∫₁^∞ 1/x^p dx 的收斂性，收斂時自動算出積分值並附 p 級數結論，適合無窮積分與級數學習。

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∫₁^∞ 1/x^p dx = {1/(p−1), p>1; 發散, p≤1}
∫₁^∞ 1/x^p dx 的指數 p

📖 使用教學｜反常積分

一、定義
反常積分指積分限含無窮大、或被積函數在區間上有無界點的積分。對 p-積分 ∫₁^∞ 1/x^p dx：當 p>1 時收斂於 1/(p−1)，當 p≤1 時發散。
二、符號說明
符號含義
∞無窮限
p冪指數
收斂極限存在且有限
發散極限不存在或無窮
三、本工具的原理
  • 按 p-積分的解析結論判別收斂性；
  • p>1 時直接給出 1/(p−1)；
  • p=1 為 ln x 型發散；p<1 冪次衰減更慢，亦發散。
四、操作步驟
  1. 輸入參數 p；
  2. 點擊「計算」；
  3. 查看收斂/發散結論與收斂值。
五、範例
例：p=2：∫₁^∞ 1/x² dx = 1。p=1：∫₁^∞ 1/x dx = ln x→∞ 發散。
六、易錯點
p=1 恰好發散（對數），不是收斂邊界值；
積分下限改到 0 涉及另一類（無界點）；
收斂 ≠ 值小，只是有限。

❓ 常見問題｜反常積分

什麼時候反常積分收斂？
對 ∫₁^∞ 1/x^p，p>1 收斂，p≤1 發散。
p=1 為什麼發散？
∫1/x dx=ln x，x→∞ 時 ln x→∞，不趨於有限值。
收斂值是多少？
p>1 時為 1/(p−1)。
本工具只支援 1/x^p 嗎？
是的，它專做經典 p-積分判別；一般反常積分需另做極限分析。
下限為 0 怎麼辦？
那是無界點型反常積分，需另行討論。