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不定积分概念在线计算

不定积分在线理解器，输入 f(x) 与起点 a，数值累加 ∫_a^x f(t)dt，动态展示原函数随起点平移与积分常数 C，直观理解不定积分概念。

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∫ f(x) dx = F(x) + C
支持 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘号不可省略，写 2*x
积分下限
积分上限

📖 使用教程｜不定积分概念

一、定义
若在区间 I 上 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 为 f(x) 的一个原函数。f(x) 的全体原函数记作 ∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 C 为任意常数（积分常数）。
二、符号说明
符号含义
∫积分号
f(x)被积函数
F(x)f(x) 的一个原函数
C积分常数
a累加的起点（基准点）
b求值点 x
三、本工具的原理
  • 原函数无法用解析式统一给出时，用数值累加 ∫_a^b f(t)dt 得到某一确定原函数 F(b)−F(a)；
  • 取不同起点 a 只整体平移，结果相差常数 C；
  • 因此不定积分不是一个函数，而是一族“平行”的函数。
四、操作步骤
  1. 输入 f(x)，例如 x^2；
  2. 输入起点 a（如 0）与求值点 b（如 1）；
  3. 点击“计算”，得到 F(b)−F(a)；
  4. 改起点 a 再算，观察结果只平移、形状不变。
五、例题
例：f(x)=x²。其原函数 F(x)=x³/3。取 a=0,b=1：F(1)−F(0)=1/3−0≈0.3333。工具自适应积分给出 0.333333。
六、易错点
不定积分结果必须带 +C，否则只表示一个原函数；
原函数不唯一，任意两个原函数只相差常数；
数值结果依赖起点 a，比较不同结果时先固定起点。

❓ 常见问题｜不定积分概念

为什么结果要加 +C？
因为原函数不唯一：若 F′=f，则 (F+C)′=f 对任意常数 C 成立，所以全体原函数是一族函数。
起点 a 起什么作用？
它只决定取这一族中的哪一个：F(b)−F(a)。换 a 等于换常数 C，函数形状不变。
本工具能直接给出解析原函数吗？
不能。它用自适应辛普森数值积分给出某一原函数在 b 处的值，用于建立“累加即原函数”的直观。
支持哪些函数？
+ − * / 幂 ^ 括号，以及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan 和常数 pi、e。乘号不能省略。
数值结果和手算为何有微小差别？
数值积分有截断与舍入误差，通常在 1e-6 量级，不影响判断。