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不定積分概念線上計算

不定積分線上理解器，輸入 f(x) 與起點 a，數值累加 ∫_a^x f(t)dt，動態展示反導數隨起點平移與積分常數 C，直觀理解不定積分概念。

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∫ f(x) dx = F(x) + C
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜不定積分概念

一、定義
若在區間 I 上 F′(x)=f(x)，則稱 F(x) 為 f(x) 的一個反導數。f(x) 的全體反導數記作 ∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 C 為任意常數（積分常數）。
二、符號說明
符號含義
∫積分號
f(x)被積函數
F(x)f(x) 的一個反導數
C積分常數
a累加的起點（基準點）
b求值點 x
三、本工具的原理
  • 反導數無法用解析式統一給出時，用數值累加 ∫_a^b f(t)dt 得到某一確定反導數 F(b)−F(a)；
  • 取不同起點 a 只整體平移，結果相差常數 C；
  • 因此不定積分不是一個函數，而是一族「平行」的函數。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)，例如 x^2；
  2. 輸入起點 a（如 0）與求值點 b（如 1）；
  3. 點擊「計算」，得到 F(b)−F(a)；
  4. 改起點 a 再算，觀察結果只平移、形狀不變。
五、範例
例：f(x)=x²。其反導數 F(x)=x³/3。取 a=0,b=1：F(1)−F(0)=1/3−0≈0.3333。工具自適應積分給出 0.333333。
六、易錯點
不定積分結果必須帶 +C，否則只表示一個反導數；
反導數不唯一，任意兩個反導數只相差常數；
數值結果依賴起點 a，比較不同結果時先固定起點。

❓ 常見問題｜不定積分概念

為什麼結果要加 +C？
因為反導數不唯一：若 F′=f，則 (F+C)′=f 對任意常數 C 成立，所以全體反導數是一族函數。
起點 a 起什麼作用？
它只決定取這一族中的哪一個：F(b)−F(a)。換 a 等於換常數 C，函數形狀不變。
本工具能直接給出解析反導數嗎？
不能。它用自適應辛普森數值積分給出某一反導數在 b 處的值，用於建立「累加即反導數」的直觀。
支援哪些函數？
+ − * / 次方 ^ 括號，以及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan 和常數 pi、e。乘號不可省略。
數值結果和手算為何有微小差別？
數值積分有截斷與捨入誤差，通常在 1e-6 量級，不影響判斷。