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无穷小的比较计算器

无穷小阶的比较在线计算器，输入两个在 a 处都趋于 0 的无穷小 α(x)、β(x)，计算 α/β 的极限，判断高阶、同阶还是等价，适合极限章节概念巩固。

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lim α/β = c≠0 同阶；=1 等价；=0 高阶；=∞ 低阶
在 a 处趋于 0
在 a 处趋于 0（作分母）
两者都在此点趋于 0

📖 使用教程｜无穷小的比较

一、定义
设 α、β 都是同一极限过程中的无穷小。若 lim α/β=0，称 α 是 β 的高阶无穷小；=∞ 称低阶；=c≠0 称同阶；=1 称等价（α~β）。
二、符号说明
符号含义
α, β两个无穷小
α/β它们的比值
c比值的极限（非零常数）
a极限点
三、本工具的原理
  • 本工具在 a+h 上计算 α/β（h 递减）；
  • 看比值趋于 0、常数还是 1；
  • 自动判定阶的关系与等价性。
四、操作步骤
  1. 输入 α(x)、β(x)，两者都在 a 趋于 0；
  2. 输入点 a（常为 0）；
  3. 点击计算查看比值趋势与结论。
五、例题
例：x→0 时 sinx/x→1，故 sinx ~ x（等价）；而 x²/x=x→0，故 x² 是 x 的高阶无穷小。
六、易错点
等价无穷小替换只能用于乘除因子，不能随便用于加减项；
要求 β→0 但 β 本身不为 0（作分母）；
阶的概念只在同一极限过程中比较。

❓ 常见问题｜无穷小的比较

等价无穷小能随便替换吗？
只能替换乘除中的因子。在加减项里直接替换常常出错，例如 (tanx−sinx)/x³ 不能分别替换。
常用等价无穷小有哪些？
x→0 时：sinx~tanx~arcsinx~arctanx~eˣ−1~ln(1+x)~x；1−cosx~x²/2。
同阶和等价有什么区别？
同阶要求比值→c≠0；等价是 c=1 的特殊同阶。
为什么比值要取很小的 h？
因为要观察 α/β 在 a 附近的极限，h 越小越接近真实极限。
α 比 β 高阶说明什么？
说明 α 趋于 0 比 β 快得多，例如 x² 比 x 更快趋于 0。