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無窮小的比較計算機

無窮小階的比較線上計算機，輸入兩個在 a 處都趨於 0 的無窮小 α(x)、β(x)，計算 α/β 的極限，判斷高階、同階還是等價，適合極限章節觀念鞏固。

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lim α/β = c≠0 同階；=1 等價；=0 高階；=∞ 低階
在 a 處趨於 0
在 a 處趨於 0（作分母）
兩者都在此點趨於 0

📖 使用教學｜無窮小的比較

一、定義
設 α、β 都是同一極限過程中的無窮小。若 lim α/β=0，稱 α 是 β 的高階無窮小；=∞ 稱低階；=c≠0 稱同階；=1 稱等價（α~β）。
二、符號說明
符號意義
α, β兩個無窮小
α/β它們的比值
c比值的極限（非零常數）
a極限點
三、本工具的原理
  • 本工具在 a+h 上計算 α/β（h 遞減）；
  • 看比值趨於 0、常數還是 1；
  • 自動判定階的關係與等價性。
四、操作步驟
  1. 輸入 α(x)、β(x)，兩者都在 a 趨於 0；
  2. 輸入點 a（常為 0）；
  3. 點擊計算查看比值趨勢與結論。
五、範例
例：x→0 時 sinx/x→1，故 sinx ~ x（等價）；而 x²/x=x→0，故 x² 是 x 的高階無窮小。
六、易錯點
等價無窮小替換只能用於乘除因子，不能隨便用於加減項；
要求 β→0 但 β 本身不為 0（作分母）；
階的概念只在同一極限過程中比較。

❓ 常見問題｜無窮小的比較

等價無窮小能隨便替換嗎？
只能替換乘除中的因子。在加減項裡直接替換常常出錯，例如 (tanx−sinx)/x³ 不能分別替換。
常用等價無窮小有哪些？
x→0 時：sinx~tanx~arcsinx~arctanx~eˣ−1~ln(1+x)~x；1−cosx~x²/2。
同階和等價有什麼區別？
同階要求比值→c≠0；等價是 c=1 的特殊同階。
為什麼比值要取很小的 h？
因為要觀察 α/β 在 a 附近的極限，h 越小越接近真實極限。
α 比 β 高階說明什麼？
說明 α 趨於 0 比 β 快得多，例如 x² 比 x 更快趨於 0。