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积分判别法计算器

把通项视作正的递减函数 f(x)，用广义积分判断级数是否收敛。

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Σ f(n) 收敛 ⇔ ∫_a^∞ f(x)dx 收敛
例如 1/(x^2)
积分与求和起点
取很大，近似无穷

📖 使用教程｜积分判别法

一、定理
设 f(x) 在 [a,+∞) 上为正、连续且单调递减，且 a_n=f(n)。则 级数 Σ a_n 与广义积分 ∫_a^∞ f(x)dx 同敛散：积分收敛则级数收敛，积分发散则级数发散。
二、符号说明
f(x)与通项对应的函数
a积分与求和的起点
b近似无穷的上限
∫_a^∞ f广义积分
三、本工具的原理
  • 要求 f(x) 正、连续、递减；
  • 用辛普森法数值计算 ∫_a^b f(x)dx；
  • 再算尾部 ∫_b^{4b} f(x)dx 判断积分是否收敛；
  • 尾部相对很小则积分收敛，级数随之收敛。
四、操作步骤
  1. 输入 f(x)，例如 1/(x^2)；
  2. 输入起点 a=1、上限 b=1000；
  3. 点击「计算」查看积分值与结论；
  4. 把 b 调大，结论稳定即可信。
五、例题
例：判断 Σ 1/n²。
解：取 f(x)=1/x²，∫_1^1000 1/x²dx≈0.999，尾部 ∫_1000^4000≈0.00075 很小，积分收敛，故级数收敛。
六、易错点
f(x) 必须正、连续、单调递减，否则定理不适用；
积分收敛只说明级数收敛，不直接给出级数和；
b 不能太小，否则尾部判断不可靠。

❓ 常见问题｜积分判别法

积分判别法的条件是什么？
f(x) 在 [a,∞) 上正、连续、单调递减，且 a_n=f(n)。
积分收敛，级数和等于积分值吗？
不一定相等，只能说明同敛散。积分值只是级数和的一个近似量级。
p-级数何时收敛？
Σ1/n^p 当 p>1 收敛，p≤1 发散。这正是积分判别法的典型应用。
为什么要算尾部？
广义积分上限是无穷，用有限 b 近似；尾部 ∫_b^{4b} 很小说明再往后积分贡献可忽略，积分收敛。
f(x) 不是单调递减能用吗？
不能直接用。可在足够大的区间上检查是否最终递减，或改用其他判别法。