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積分判別法計算器

把通項視作正的遞減函數 f(x)，用廣義積分判斷級數是否收斂。

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Σ f(n) 收敛 ⇔ ∫_a^∞ f(x)dx 收敛
例如 1/(x^2)
積分與求和起點
取很大，近似無窮

📖 使用教學｜積分判別法

一、定理
設 f(x) 在 [a,+∞) 上為正、連續且單調遞減，且 a_n=f(n)。則 級數 Σ a_n 與廣義積分 ∫_a^∞ f(x)dx 同斂散：積分收斂則級數收斂，積分發散則級數發散。
二、符號說明
f(x)與通項對應的函數
a積分與求和的起點
b近似無窮的上限
∫_a^∞ f廣義積分
三、本工具的原理
  • 要求 f(x) 正、連續、遞減；
  • 用辛普森法數值計算 ∫_a^b f(x)dx；
  • 再算尾部 ∫_b^{4b} f(x)dx 判斷積分是否收斂；
  • 尾部相對很小則積分收斂，級數隨之收斂。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)，例如 1/(x^2)；
  2. 輸入起點 a=1、上限 b=1000；
  3. 點擊「計算」查看積分值與結論；
  4. 把 b 調大，結論穩定即可信。
五、範例
範例：判斷 Σ 1/n²。
解：取 f(x)=1/x²，∫_1^1000 1/x²dx≈0.999，尾部 ∫_1000^4000≈0.00075 很小，積分收斂，故級數收斂。
六、易錯點
f(x) 必須正、連續、單調遞減，否則定理不適用；
積分收斂只說明級數收斂，不直接給出級數和；
b 不能太小，否則尾部判斷不可靠。

❓ 常見問題｜積分判別法

積分判別法的條件是什麼？
f(x) 在 [a,∞) 上正、連續、單調遞減，且 a_n=f(n)。
積分收斂，級數和等於積分值嗎？
不一定相等，只能說明同斂散。積分值只是級數和的一個近似量級。
p-級數何時收斂？
Σ1/n^p 當 p>1 收斂，p≤1 發散。這正是積分判別法的典型應用。
為什麼要算尾部？
廣義積分上限是無窮，用有限 b 近似；尾部 ∫_b^{4b} 很小說明再往後積分貢獻可忽略，積分收斂。
f(x) 不是單調遞減能用嗎？
不能直接用。可在足夠大的區間上檢查是否最終遞減，或改用其他判別法。