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分部积分法在线计算

经典分部积分类别练习器，内置常见 ∫xⁿeˣ、∫xⁿln x 等分部积分例子，一键数值验证 ∫u dv=uv−∫v du，附选取 u 的口诀，适合分部积分入门。

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∫ u dv = uv − ∫ v du
选择一个示例以自动填入 f(x) 与区间。
支持 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘号不可省略，写 2*x
积分下限
积分上限

📖 使用教程｜分部积分法

一、定义
当被积函数是两类函数乘积时，用公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du，把难积的部分转化为易积的部分。选 u 的经验法则是 LIATE：反三角>对数>幂>三角>指数，越靠前越优先选作 u。
二、符号说明
符号含义
u求导的部分（选它降幂）
dv积分的部分（求它的原函数 v）
v=∫dv
∫v du化归后的新积分
三、本工具的原理
  • 选择经典乘积积分例子；
  • 用自适应辛普森法直接数值计算 ∫u dv；
  • 与按 LIATE 分部得到的解析结果对照。
四、操作步骤
  1. 下拉选择一个分部积分例子；
  2. 系统填入被积函数与区间，并标注 u、dv 的取法；
  3. 点击“计算”查看数值结果。
五、例题
例：∫₀¹ x eˣ dx。u=x，dv=eˣdx，则 du=dx，v=eˣ。= [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e−1)=1。工具给出 1.000000。
六、易错点
u 与 dv 选错会越化越难，按 LIATE 选 u；
∫v du 仍要继续积分，不要漏项；
有时需要连续分部多次。

❓ 常见问题｜分部积分法

什么是 LIATE？
选 u 的优先级：对数(L)>反三角(I)>代数幂(A)>三角(T)>指数(E)，排在前的优先作 u。
为什么 ln x 单独积分也要分部？
把 ln x 看作 1·ln x，取 u=ln x、dv=dx，即可化为有理积分。
分部后还是积不出来怎么办？
换 u、dv 的选择，或尝试换元法；本工具只做数值验证。
工具能自动选 u 吗？
不能自动推导解析分部；它提供经典例子并数值验证。
支持哪些函数？
+−*/^、sin cos exp log sqrt abs 等。