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分部積分法線上計算

選擇經典分部積分例子，數值驗證 ∫u dv = uv − ∫v du。

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∫ u dv = uv − ∫ v du
選擇一個範例以自動填入 f(x) 與區間。
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜分部積分法

一、定義
當被積函數是兩類函數乘積時，用公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du，把難積的部分轉化為易積的部分。選 u 的經驗法則是 LIATE：反三角>對數>冪>三角>指數，越靠前越優先選作 u。
二、符號說明
符號含義
u求導的部分（選它降冪）
dv積分的部分（求它的反導數 v）
v=∫dv
∫v du化歸後的新積分
三、本工具的原理
  • 選擇經典乘積積分例子；
  • 用自適應辛普森法直接數值計算 ∫u dv；
  • 與按 LIATE 分部得到的解析結果對照。
四、操作步驟
  1. 下拉選擇一個分部積分例子；
  2. 系統填入被積函數與區間，並標註 u、dv 的取法；
  3. 點擊「計算」查看數值結果。
五、範例
例：∫₀¹ x eˣ dx。u=x，dv=eˣdx，則 du=dx，v=eˣ。= [xeˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e−1)=1。工具給出 1.000000。
六、易錯點
u 與 dv 選錯會越化越難，按 LIATE 選 u；
∫v du 仍要繼續積分，不要漏項；
有時需要連續分部多次。

❓ 常見問題｜分部積分法

什麼是 LIATE？
選 u 的優先級：對數(L)>反三角(I)>代數冪(A)>三角(T)>指數(E)，排在前的優先作 u。
為什麼 ln x 單獨積分也要分部？
把 ln x 看作 1·ln x，取 u=ln x、dv=dx，即可化為有理積分。
分部後還是積不出來怎麼辦？
換 u、dv 的選擇，或嘗試換元法；本工具只做數值驗證。
工具能自動選 u 嗎？
不能自動推導解析分部；它提供經典例子並數值驗證。
支援哪些函數？
+−*/^、sin cos exp log sqrt abs 等。