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换元积分法在线计算

换元积分法在线验证器，内置经典 u 换元例子，数值验证 ∫f(g(x))g′(x)dx 换元前后结果不变，附换元步骤，适合换元积分法练习。

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∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du
选择一个示例以自动填入 f(x) 与区间。
支持 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘号不可省略，写 2*x
积分下限
积分上限

📖 使用教程｜换元积分法

一、定义
当被积函数呈 f(g(x))·g′(x) 形式时，令 u=g(x)，则 du=g′(x)dx，积分化为 ∫ f(u)du，求出后回代。这就是换元法（凑微分）。
二、符号说明
符号含义
u=g(x)内层函数
du=g′(x)dx
∫f(u)du换元后的新积分
a,b原积分限
g(a),g(b)换元后新积分限
三、本工具的原理
  • 选择一个经典复合函数积分；
  • 用自适应辛普森法直接数值计算原积分 ∫_a^b f(x)dx；
  • 结果应与换元后的解析结果一致，用以验证换元法。
四、操作步骤
  1. 下拉选择一个换元例子；
  2. 系统自动填入 f(x) 与区间并给出换元说明；
  3. 点击“计算”，对照数值结果与换元后的解析值。
五、例题
例：∫₀¹ 2x·cos(x²)dx。令 u=x²，du=2x dx，x=0→u=0，x=1→u=1。原式=∫₀¹ cos u du=[sin u]₀¹=sin1≈0.8415。工具给出 0.841471。
六、易错点
换元后必须同步更换上下限；
凑微分时别忘了系数，如 du=2x dx 而非 du=x dx；
定积分换元后不必回代，直接用新限计算。

❓ 常见问题｜换元积分法

换元法的关键是什么？
识别“外层函数 × 内层函数的导数”结构，把内层设为 u，凑出 du。
为什么定积分换元后不用回代？
因为上下限已换成 u 的限，∫_{g(a)}^{g(b)} f(u)du 直接出数值，无需写回 x。
工具能自动帮我凑微分吗？
不能自动求解析换元；它提供经典例子并数值验证换元后结果不变。
换元后上下限怎么变？
x=a 对应 u=g(a)，x=b 对应 u=g(b)。
支持哪些函数？
+−*/^、sin cos exp log sqrt abs 等，乘号不能省略。