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換元積分法線上計算

選擇經典換元例子，數值驗證 ∫f(g(x))g′(x)dx 換元後結果不變。

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∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du
選擇一個範例以自動填入 f(x) 與區間。
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜換元積分法

一、定義
當被積函數呈 f(g(x))·g′(x) 形式時，令 u=g(x)，則 du=g′(x)dx，積分化為 ∫ f(u)du，求出後回代。這就是換元法（湊微分）。
二、符號說明
符號含義
u=g(x)內層函數
du=g′(x)dx
∫f(u)du換元後的新積分
a,b原積分限
g(a),g(b)換元後新積分限
三、本工具的原理
  • 選擇一個經典複合函數積分；
  • 用自適應辛普森法直接數值計算原積分 ∫_a^b f(x)dx；
  • 結果應與換元後的解析結果一致，用以驗證換元法。
四、操作步驟
  1. 下拉選擇一個換元例子；
  2. 系統自動填入 f(x) 與區間並給出換元說明；
  3. 點擊「計算」，對照數值結果與換元後的解析值。
五、範例
例：∫₀¹ 2x·cos(x²)dx。令 u=x²，du=2x dx，x=0→u=0，x=1→u=1。原式=∫₀¹ cos u du=[sin u]₀¹=sin1≈0.8415。工具給出 0.841471。
六、易錯點
換元後必須同步更換上下限；
湊微分時別忘了係數，如 du=2x dx 而非 du=x dx；
定積分換元後不必回代，直接用新限計算。

❓ 常見問題｜換元積分法

換元法的關鍵是什麼？
識別「外層函數 × 內層函數的導數」結構，把內層設為 u，湊出 du。
為什麼定積分換元後不用回代？
因為上下限已換成 u 的限，∫_{g(a)}^{g(b)} f(u)du 直接出數值，無需寫回 x。
工具能自動幫我湊微分嗎？
不能自動求解析換元；它提供經典例子並數值驗證換元後結果不變。
換元後上下限怎麼變？
x=a 對應 u=g(a)，x=b 對應 u=g(b)。
支援哪些函數？
+−*/^、sin cos exp log sqrt abs 等，乘號不可省略。