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雅可比行列式计算器

雅可比行列式在线计算器，输入坐标变换 x(u,v)、y(u,v)，数值计算变换的雅可比行列式 J，附几何缩放说明，适合多重积分换元学习。

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J = ∂(x,y)/∂(u,v) = x_u y_v − x_v y_u
例如 u+v
例如 u^2-v

📖 使用教程｜雅可比行列式

一、定义
从 (u,v) 到 (x,y) 的变换，雅可比行列式 J=∂(x,y)/∂(u,v)=x_u y_v−x_v y_u。二重积分换元时 dxdy=|J|dudv。
二、符号说明
x_u,x_vx 对 u,v 的偏导
y_u,y_vy 对 u,v 的偏导
J雅可比行列式
|J|面积缩放因子
三、本工具的原理
  • 数值求四个偏导；
  • 按叉乘公式算 J；
  • |J| 即坐标变换的面积比例。
四、操作步骤
  1. 输入 x(u,v)、y(u,v)；
  2. 输入点 (u₀,v₀)；
  3. 点击「计算」。
五、例题
例：x=u+v，y=u²−v 在 u=1,v=2。
解：x_u=1,x_v=1,y_u=2u=2,y_v=−1；J=1·(−1)−1·2=−3，|J|=3。
六、易错点
换元积分时用 |J| 而不是 J；
J=0 处变换退化；
注意偏导是对新变量求的。

❓ 常见问题｜雅可比行列式

雅可比行列式几何意义？
坐标变换下微元面积的缩放倍数。
为什么取绝对值？
面积/体积不能为负，故积分换元用 |J|。
极坐标的雅可比是多少？
x=r cosθ,y=r sinθ，J=r。
J 为负说明什么？
取向反转，面积仍用 |J|。
三重积分呢？
用 3×3 雅可比矩阵的行列式。