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雅可比行列式計算器

雅可比行列式線上計算機，輸入座標變換 x(u,v)、y(u,v)，數值計算變換的雅可比行列式 J，附幾何縮放說明，適合多重積分換元學習。

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J = ∂(x,y)/∂(u,v) = x_u y_v − x_v y_u
例如 u+v
例如 u^2-v

📖 使用教學｜雅可比行列式

一、定義
從 (u,v) 到 (x,y) 的變換，雅可比行列式 J=∂(x,y)/∂(u,v)=x_u y_v−x_v y_u。二重積分換元時 dxdy=|J|dudv。
二、符號說明
x_u,x_vx 對 u,v 的偏導
y_u,y_vy 對 u,v 的偏導
J雅可比行列式
|J|面積縮放因子
三、本工具的原理
  • 數值求四個偏導；
  • 按叉乘公式算 J；
  • |J| 即坐標變換的面積比例。
四、操作步驟
  1. 輸入 x(u,v)、y(u,v)；
  2. 輸入點 (u₀,v₀)；
  3. 點擊「計算」。
五、範例
範例：x=u+v，y=u²−v 在 u=1,v=2。
解：x_u=1,x_v=1,y_u=2,y_v=−1；J=1·(−1)−1·2=−3，|J|=3。
六、易錯點
換元積分時用 |J| 而不是 J；
J=0 處變換退化；
注意偏導是對新變量求的。

❓ 常見問題｜雅可比行列式

雅可比行列式幾何意義？
坐標變換下微元面積的縮放倍數。
為什麼取絕對值？
面積/體積不能為負，故積分換元用 |J|。
極座標的雅可比是多少？
x=r cosθ,y=r sinθ，J=r。
J 為負說明什麼？
取向反轉，面積仍用 |J|。
三重積分呢？
用 3×3 雅可比矩陣的行列式。