一、定理
在约束 g(x,y)=c 下求 f 的极值，构造 L=f−λ(g−c)，令 ∇L=0 得 ∇f=λ∇g 且 g=c。λ 即拉格朗日乘数。
二、符号说明
| f | 目标函数 |
| g=c | 等式约束 |
| λ | 拉格朗日乘数 |
| ∇f=λ∇g | 极值条件 |
三、本工具的原理
- 从初值迭代；
- 用 ∇f 与 ∇g 估计 λ；
- 沿 L 的负梯度移动并投影回约束；
- 收敛后输出解与 λ。
四、操作步骤
- 输入 f、g 与约束值 c；
- 输入初值 x₀、y₀；
- 点击「计算」；
- 若未收敛可换初值重试。
五、例题
例：在 x+y=1 下最大化 xy。
解：由 ∇f=λ∇g：(y,x)=λ(1,1) 得 x=y，代入 x+y=1 得 x=y=0.5，f=0.25。工具收敛到 (0.5,0.5)。
六、易错点
约束可能有多个极值点，初值影响结果；
需判断所求为极大还是极小；
λ 反映约束放松时目标的边际变化。