一、定理
在約束 g(x,y)=c 下求 f 的極值，構造 L=f−λ(g−c)，令 ∇L=0 得 ∇f=λ∇g 且 g=c。λ 即拉格朗日乘數。
二、符號說明
| f | 目標函數 |
| g=c | 等式約束 |
| λ | 拉格朗日乘數 |
| ∇f=λ∇g | 極值條件 |
三、本工具的原理
- 從初值迭代；
- 用 ∇f 與 ∇g 估計 λ；
- 沿 L 的負梯度移動並投影回約束；
- 收斂後輸出解與 λ。
四、操作步驟
- 輸入 f、g 與約束值 c；
- 輸入初值 x₀、y₀；
- 點擊「計算」；
- 若未收斂可換初值重試。
五、範例
範例：在 x+y=1 下最大化 xy。
解：由 (y,x)=λ(1,1) 得 x=y，代入 x+y=1 得 x=y=0.5，f=0.25。工具收斂到 (0.5,0.5)。
六、易錯點
約束可能有多個極值點，初值影響結果；
需判斷所求為極大還是極小；
λ 反映約束放鬆時目標的邊際變化。