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大数定律计算器

模拟不同样本量下的样本均值，直观演示大数定律的收敛现象。

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X̄ₙ → E(X)（n→∞）
依次增大的 n，观察样本均值收敛

📖 使用教程｜大数定律

一、定义
大数定律：设 X₁,…,Xₙ 独立同分布，期望为 μ，则样本均值 X̄ₙ 随 n 增大依概率收敛于 μ。重复试验越多，平均结果越稳定在期望附近。
二、符号说明
符号含义
X̄ₙn 个样本的算术平均
μ=E(X)总体期望（理论值）
n样本量
依概率收敛n 越大，偏差较大的概率越小
三、本工具的原理
  • 用固定随机种子生成可复现样本；
  • 分别取 n=10、100、1000… 计算样本均值；
  • 样本均值应随 n 增大贴近理论期望；
  • 可选均匀、伯努利、指数分布观察收敛速度。
四、操作步骤
  1. 选择一种随机数分布；
  2. 输入逗号分隔的一组递增 n；
  3. 点击计算，逐行查看各 n 的样本均值；
  4. 观察 n 最大一行是否最接近期望。
五、例题
例：均匀 U(0,1)，期望 0.5。n=10 时样本均值可能 0.4~0.6；n=100000 时通常落在 0.495~0.505，明显贴近 0.5。
六、易错点
n 大只保证“大概率”接近，不保证每次都精确；
固定种子可复现，但换种子结论趋势不变；
样本均值是随机变量，不能把一次结果当定理证明。

❓ 常见问题｜大数定律

样本均值为什么会接近期望？
随机波动在大量独立重复中相互抵消，平均后只剩稳定的期望项。
n 越大是否一定越接近？
依概率收敛保证大概率更接近，仍可能偶然偏差；总体趋势收敛。
三种分布期望分别是多少？
均匀 U(0,1)=0.5；伯努利 p=0.5=0.5；指数 λ=1=1。
这和中心极限定理有什么区别？
大数定律说均值收敛到期望；中心极限定理进一步说波动服从正态分布。
为什么用固定随机种子？
为结果可复现、便于教学对比；真实蒙特卡洛每次不同，但趋势一致。