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大數定律計算器

模擬不同樣本數下的樣本平均數，直觀演示大數定律的收斂現象。

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X̄ₙ → E(X)（n→∞）
依次增大的 n，觀察樣本平均數收斂

📖 使用教學｜大數定律

一、定義
大數定律：設 X₁,…,Xₙ 獨立同分布，期望為 μ，則樣本平均數 X̄ₙ 隨 n 增大依機率收斂於 μ。重複試驗越多，平均結果越穩定在期望附近。
二、符號說明
符号意義
X̄ₙn 個樣本的算術平均
μ=E(X)母體期望（理論值）
n樣本數
依機率收斂n 越大，偏差較大的機率越小
三、本工具的原理
  • 用固定隨機種子產生可重現樣本；
  • 分別取 n=10、100、1000… 計算樣本平均數；
  • 樣本平均數應隨 n 增大貼合理論期望；
  • 可選均勻、伯努利、指數分布觀察收斂速度。
四、操作步驟
  1. 選擇一種隨機數分布；
  2. 輸入逗號分隔的一組遞增 n；
  3. 點擊計算，逐行查看各 n 的樣本平均數；
  4. 觀察 n 最大一行是否最接近期望。
五、範例
範例：均勻 U(0,1)，期望 0.5。n=10 時樣本平均可能 0.4~0.6；n=100000 時通常落在 0.495~0.505，明顯貼近 0.5。
六、易錯點
n 大只保證「大機率」接近，不保證每次都精確；
固定種子可重現，換種子結論趨勢不變；
樣本平均數是隨機變數，不能把一次結果當證明。

❓ 常見問題｜大數定律

樣本平均數為什麼會接近期望？
隨機波動在大量獨立重複中互相抵消，平均後只剩穩定的期望項。
n 越大是否一定越接近？
依機率收斂保證大機率更接近，仍可能偶然偏差；整體趨勢收斂。
三種分布期望分別是多少？
均勻 U(0,1)=0.5；伯努利 p=0.5=0.5；指數 λ=1=1。
這和中央極限定理有什麼區別？
大數定律說平均數收斂到期望；中央極限定理進一步說波動呈常態分布。
為什麼用固定隨機種子？
為結果可重現、便於教學對比；真實蒙地卡羅每次不同，但趨勢一致。