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一阶线性微分方程

一阶线性微分方程在线求解器，输入 P(x)、Q(x) 与初值，自动求出积分因子并数值写出通解与特解，附步骤，适合一阶线性方程练习。

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y′ + P(x)y = Q(x), μ = e^∫P(x)dx
y 的系数
右端项
初始 x
初始 y(x₀)
求解终点

📖 使用教程｜一阶线性微分方程

一、定义
形如 y′ + P(x)y = Q(x) 的一阶方程称为一阶线性微分方程。Q(x)=0 时为齐次，否则非齐次。
二、符号说明
符号含义
P(x)y 的系数
Q(x)右端项
μ(x)积分因子 e^∫P dx
C积分常数
三、本工具的原理
  • 积分因子 μ = e^∫P(x)dx；
  • 两边乘 μ 后左边变成 (μy)′；
  • 积分得 μy = ∫μQ dx + C，再除以 μ 得通解；
  • 本工具用欧拉法对 y′=Q−Py 做数值积分。
四、操作步骤
  1. 输入 P(x) 与 Q(x)；
  2. 输入初值与目标 x₁；
  3. 点击计算查看积分因子形式与数值解。
五、例题
例：y′ + y = x，y(0)=0。积分因子 μ=e^x，(e^x y)′=x e^x，积分 e^x y=(x−1)e^x+C，y(0)=0 得 C=1，y=x−1+e^(−x)。数值解 y(1)≈0.3679。
六、易错点
必须先把方程写成标准形式 y′+P(x)y=Q(x)；
积分因子是 e^∫P，不是 e^∫Q；
数值解是近似，精确解需积分积分因子法公式。

❓ 常见问题｜一阶线性微分方程

积分因子怎么求？
计算 μ = e^(∫P(x)dx)，即对 y 的系数 P(x) 积分后取指数。
齐次和非齐次线性方程有何不同？
齐次 Q(x)=0，直接分离变量；非齐次需用积分因子或常数变易法。
为什么要先化标准形式？
只有写成 y′+P(x)y=Q(x) 才能正确识别 P 和 Q。
欧拉法精度如何？
500 步时通常误差很小，适合教学；高阶精确解请手算积分。
支持哪些函数写法？
支持 + − * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log，变量 x、y。