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一階線性微分方程

一階線性微分方程線上求解器，輸入 P(x)、Q(x) 與初值，自動求出積分因子並數值寫出通解與特解，附步驟，適合一階線性方程練習。

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y′ + P(x)y = Q(x), μ = e^∫P(x)dx
y 的係數
右端項
初始 x
初始 y(x₀)
求解終點

📖 使用教學｜一階線性微分方程

一、定義
形如 y′ + P(x)y = Q(x) 的一階方程稱為一階線性微分方程。Q(x)=0 時為齊次，否則非齊次。
二、符號說明
符號意義
P(x)y 的係數
Q(x)右端項
μ(x)積分因子 e^∫P dx
C積分常數
三、本工具的原理
  • 積分因子 μ = e^∫P(x)dx；
  • 兩邊乘 μ 後左邊變成 (μy)′；
  • 積分得 μy = ∫μQ dx + C，再除以 μ 得通解；
  • 本工具用歐拉法對 y′=Q−Py 做數值積分。
四、操作步驟
  1. 輸入 P(x) 與 Q(x)；
  2. 輸入初值與目標 x₁；
  3. 點擊計算查看積分因子形式與數值解。
五、範例
範例：y′ + y = x，y(0)=0。積分因子 μ=e^x，(e^x y)′=x e^x，積分 e^x y=(x−1)e^x+C，y(0)=0 得 C=1，y=x−1+e^(−x)。數值解 y(1)≈0.3679。
六、易錯點
必須先把方程寫成標準形式 y′+P(x)y=Q(x)；
積分因子是 e^∫P，不是 e^∫Q；
數值解是近似，精確解需用積分因子法公式。

❓ 常見問題｜一階線性微分方程

積分因子怎麼求？
計算 μ = e^(∫P(x)dx)，即對 y 的係數 P(x) 積分後取指數。
齊次和非齊次線性方程有何不同？
齊次 Q(x)=0，直接分離變數；非齊次需用積分因子或常數變易法。
為什麼要先化標準形式？
只有寫成 y′+P(x)y=Q(x) 才能正確識別 P 和 Q。
歐拉法精度如何？
500 步時通常誤差很小，適合教學；高階精確解請手算積分。
支援哪些函數寫法？
支援 + − * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log，變數 x、y。